线性回归是一种用于预测因变量（响应变量）与自变量（解释变量）之间关系的统计方法。在数学上，线性回归方程可以表示为：
y = a + bx
其中：
– y 是因变量（响应变量），
– a 是截距（intercept），
– b 是斜率（slope），
– x 是自变量（解释变量）。
理解a和b
1. 截距a：它代表当所有自变量为零时，因变量的预测值。换句话说，它是当没有其他因素影响时，因变量应有的水平。
2. 斜率b：它衡量了自变量每变化一个单位时，因变量平均变化的量。如果b为正，则表明随着自变量的增加，因变量也会增加；如果b为负，则表明随着自变量的增加，因变量会减少。
求法
要找到线性回归方程中的a和b，通常需要使用最小二乘法（least squares method）。这种方法的目标是最小化误差平方和，即预测值与实际值之间的差异。
步骤：
1. 收集数据：你需要收集一组数据点，这些数据点对应于不同的x值和相应的y值。
2. 计算均值：计算所有数据点的平均值，这将是模型的y轴截距a。
3. 计算斜率：使用最小二乘法公式来计算斜率b。这个公式涉及到每个数据点与其对应的y值的差，然后除以x值的差，最后取平方根。公式如下：
\[
b = \frac{n(\sum xy) – (\sum x)(\sum y)}{n(\sum x^2) – (\sum x)^2}
\]
其中，\( n \) 是数据点的数量，\( \sum xy \) 是所有数据点中x和y的乘积之和，\( \sum x \) 是所有数据点中x的和，\( \sum y \) 是所有数据点中y的和，\( \sum x^2 \) 是所有数据点中x的平方和，\( \sum x^2 \) 是所有数据点中x的平方和。
4. 验证模型：通过比较模型预测的y值与实际观测值来评估模型的准确性。如果预测值与实际值非常接近，那么模型可能是有效的。
线性回归方程中的a和b是通过对数据进行统计分析得到的。通过最小二乘法，我们可以确定这两个参数的值，从而建立一个能够准确预测因变量的模型。掌握线性回归的基本原理和求解方法对于数据分析和建模至关重要。