根据中国法律，拒不支付抚养费属于违法行为，可能会面临相应的法律后果。根据《中华人民共和国民法典》和《中华人民共和国刑法》的相关规定，父母有抚养子女的义务，如果一方不支付抚养费，另一方可以向人民法院提起诉讼，要求支付抚养费。
如果被判决后，仍然拒不支付抚养费，法院可以采取强制措施。根据《最高人民法院关于适用的解释》的规定，对于拒不履行人民法院已经发生法律效力的判决、裁定的，人民法院可以根据情节轻重，予以罚款、拘留；构成犯罪的，依法追究刑事责任。
具体到拘留，根据《中华人民共和国刑法》第三十三条的规定，拒不执行判决、裁定罪，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑。
因此，欠抚养费达到一定程度，拒不支付的情况下，确实可能会被法院处以拘留，甚至构成犯罪，被追究刑事责任。这是法律对抚养费义务的强制性保障，也是对拒不履行义务行为的惩戒。