本文旨在通过实际例子来讲解如何判断函数的单调性以及求解函数的单调区间。以下是几个典型例题的详细解析。
例题1：讨论函数y=e^x-x-3的单调性。
对函数求导得到y’=e^x-1。接着，令y’=0解出x=0。
（1）当x≥0时，y’≥0，函数在此区间内为增函数，增区间为[0,+∞)；
（2）当x＜0时，y’＜0，函数在此区间内为减函数，减区间为(-∞，0)。
例题2：探讨函数f(x)=3x^3-5x^2+1的单调性。
对此函数求导得到y’=9x^2-10x=x(9x-10)。接下来，令y’=0解出x1=0，x2=10/9。
（1）当x在区间(-∞，0]和[10/9,+∞）时，y’≥0，函数为增函数；
（2）在区间(0，10/9)内，y’＜0，函数在此区间内为减函数。
例题3：判断函数y=(4/3)x^3+(3/2)x^2的单调性。
求导得到y’=4x^2+3x=x(4x+3)。然后令y’=0解出两个关键点x1=-3/4和x2=0。
（1）当x在区间(-∞，-3/4]和[0,+∞）时，y’≥0，函数为增函数；
（2）在区间(-3/4，0)内，y’＜0，函数在此区间内为减函数。
例题4：分析函数f(x)=(x+3)(x+6)^(2/3)的单调区间。
求导得到y’=(1/3)(x+6)^(-1/3)(5x+24)。令y’=0解出关键点x1=-24/5，并在x=-6处注意到导数不存在。根据这些信息我们可以知道：
（1）当x在区间(-∞，-6]和(-24/5,+∞）时，y’≥0，函数为增函数；需要注意的是在点(-6, f(-6))处存在一个拐点；在(-24/5, -6)的区间内则表现为减函数。
（注意由于分母不能为零的问题需额外考虑） 这些实例分析总结后我们得到关于判断函数单调性或求函数单调区间的主要步骤： 步骤一：求解函数的导数。这一步是至关重要的因为如果已知一阶导数我们就能准确找到增减临界点确定整个函数的单调性方向； 步骤二：找出函数的驻点通过分析一阶导数等于零的点以及导数不存在的点来判断； 步骤三：结合函数的定义域判断函数的单调性和单调区间通过判断函数的导数正负来确定函数的增减趋势以此得到单调性最后总结对应的单调区间这样就能得出完整的分析结论。
