一、信号测不准原理介绍
前些日子，我们探讨了信息领域中的信号测不准定理。这一原理是通过信号时域波形和频谱波形的二阶矩来衡量信号的宽度，也就是中心位置的不确定性。这两个量的乘积等于一个恒定值。我们运用了傅里叶变换的微分性质和能量守恒定理，将乘积表达式转化为时域的表述。最后一步则需要借助柯西-施瓦兹不等式，合并分子中的两项乘积，最终得出证明结果。接下来，我们将详细介绍柯西-施瓦兹不等式的证明过程。
二、柯西-施瓦兹不等式的证明
在这里，我们仅证明在两个函数都是实数函数的情况下。假设我们用 g(x) 的倍数去逼近 f(x)，两者之间的误差信号能量是对误差信号平方的积分，这个误差能量是参数 y 的函数。展开上面的积分表达式，对于任意的 f(x) 和 g(x)，这个表达式是关于 y 的二次多项式。
由于该函数代表误差信号的能量，因此它始终大于等于0。根据二次多项式的性质，它的系数满足一个特定不等式，即二次多项式根式中的判别式的值小于等于0。将系数替换为它们的表达式，我们就得到了需要证明的柯西-施瓦兹不等式。这个不等式说明两个信号内积的能量小于等于两个信号能量的乘积。当两个信号 f(x) 和 g(x) 之间成比例关系时，等号成立。
本文重点介绍了数学中的柯西-施瓦兹不等式的证明过程，并指出该不等式对于复数函数同样成立。
参考资料：
[1] 探究二次多项式始终大于0的条件：[链接](zhuoqing.blog./article/details/147055210?spm=1011.2415.3001.5331)。
