在数学领域中，理解最基础的概念对于探索更深层次的知识来说具有极其重要的意义。例如公因数（Common Divisor）这一概念，尽管看似简单，却在数学的许多分支中发挥着至关重要的作用。
公因数指的是能够同时整除两个或多个整数的数。无论是进入更深层次的数论领域，还是进行日常的数学表达式简化操作，掌握公因数的概念都是必不可少的。
以140和110这两个数为例，它们的因数分别包括：
140的因数有：1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140
110的因数有：1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110
通过比较这两组因数，我们可以发现140和110的公因数为：1, 2, 5和10。这些公因数能够同时整除140和110。
这一概念可以形式化地表达为：若d是两个整数a与b的公因数，那么存在整数a₁和b₁，使得a=da₁和b=db₁。
关于公因数有一个非常有趣的性质，那就是它不仅可以整除a和b，而且也能整除它们的和a+b和差a-b。这一性质在解决涉及整数及其关系的问题时非常有用。
接下来，我们来说一下最大公因数（Greatest Common Divisor，gcd）。最大公因数是两个或多个整数共有约数中最大的一个。对于任意两个整数，其最大公因数是能够同时整除它们的最大的正整数。了解最大公因数对于简化分数和解决各类与整数相关的问题非常有帮助。
最大公因数通常用gcd来表示，例如gcd(140, 110) = 10。那么，如何找到最大公因数呢？这里我们介绍一种方法——素因数分解法。
以a=980和b=770为例，如何找到它们的最大公因数d₀呢？我们需要将这两个数分解成素因数的形式：
在寻找最大公因数的过程中，我们比较相同的素因数的指数，并选择最小的指数。由于某些素因数只在其中一个数现，它们不是两个数的公因数。我们将这些素因数的最小指数相乘，就可以得到最大公因数d₀。
找到最大公因数后，我们还可以得到以下性质：任一公因数d一定能够整除最大公因数d₀。这是因为最大公因数d₀是由两个数共有的素因数按其最小指数构成的，所以d₀的任何因子都是由这些公因数中的某些组合而成，且其指数不会超过最大公因数中的指数。
这也是为什么在数论和算法中，寻找最大公因数是非常重要的。一旦找到了最大公因数，我们就能立即知道所有的公因数。虽然素因数分解法是一种有效的方法，但在处理较大的整数时可能会非常繁琐。更有效的方法是使用辗转相除法（也称为欧几里得算法）来计算两个或更多整数的最大公因数。
