在解决微分方程时，区分齐次与非齐次方程是首要步骤。齐次微分方程指的是方程中所有项均为未知函数及其导数的线性组合，且等号右边为零。例如，形式为 \( y” + py’ + qy = 0 \) 的方程就是一个典型的齐次微分方程，其中 \( p \) 和 \( q \) 是常数或函数，而右边恒为零。
相反，非齐次微分方程在等号右边包含一个非零项，这个非零项可以是常数、函数或更复杂的表达式。例如，方程 \( y” + py’ + qy = g(x) \) 就是一个非齐次微分方程，其中 \( g(x) \) 是一个非零函数。
要轻松区分这两种方程，可以观察等号右边的项。如果右边为零，那么方程是齐次的；如果右边不为零，那么方程是非齐次的。这一简单的步骤可以帮助我们在解决微分方程时迅速确定方程的类型，并采取相应的解法。例如，齐次方程通常可以通过特征方程法求解，而非齐次方程则可能需要使用待定系数法或变系数法。