基灵矢量（Killing Vector）是微分几何和广义相对论中用于描述流形对称性的重要概念。这一概念由德国数学家威廉基灵（Wilhelm Killing）命名，其核心思想是通过矢量场描述度量张量在特定方向上的不变性。
一、基灵矢量的概念及其方程
基灵矢量场的主要意义在于其生成的微分同胚（沿K的流）能够保持度规g不变。这种不变性可以通过李导数（Lie Derivative）为零来刻画。李导数衡量了张量场沿矢量场方向的变化率，因此该条件直接表明度规在K方向上的变化率为零。
在广义相对论中，我们通常采用Levi-Civita联络（无挠且度量兼容）。利用此性质，李导数对度规的作用可以展开为协变导数的组合，从而得到基灵方程。具体来说，当李导数为零时，我们得到基灵方程，这等价于：时间平移对称性对应能量守恒，空间平移对称性对应动量守恒，旋转对称性对应角动量守恒。
二、基灵矢量的性质
基灵矢量与物理系统的对称性密切相关。例如，时间平移对称性对应能量守恒，空间平移对称性对应动量守恒，旋转对称性对应角动量守恒。这些对称性都可以通过基灵矢量来描述。
基灵矢量构成李代数，其李括号运算具有闭合性。对于任意两个基灵矢量K和K，[K,K]也是基灵矢量。基灵矢量的数量受到流形维度的限制。一个n维流形最多有n(n+1)/2个独立基灵矢量，这对应最大对称空间（如欧氏空间、球面等）。
三、独立基灵矢量与总自由度
基灵矢量总共有n个分量，但由于反对称性要求，对角分量A=0（共n个），且非对角分量满足A=-A（每对(,)仅需指定一个独立分量）。对于n维流形，一个反对称二阶张量A的独立分量数为n(n-1)/2。每个基灵矢量对应一个等距变换（如平移、旋转），其初始条件由位置和“旋转速率”（反对称导数）共同决定。当流形为最大对称空间时，独立基灵矢量的数量达到最大值n(n+1)/2，这对应其等距群的维度。例如，在三维欧氏空间中，有3个平移基灵矢量和3个旋转基灵矢量。
四、四维空间中的对称性
在四维空间中，基灵矢量分为平移和转动两类。平移对称性可以通过验证平移生成元的李导数为零来确认。转动对称性则对应坐标平面内的旋转，每个平面内的旋成一个基灵矢量。四维空间有6个坐标平面，对应6个独立转动。四维欧氏空间的等距群为E(4)，其李代数由平移和转动生成元共同构成。
基灵矢量在描述物理系统的对称性方面起着关键作用。通过了解基灵矢量的性质、代数结构以及其在四维空间中的应用，我们可以更深入地理解微分几何和广义相对论中的许多重要概念。
