一、空间直角坐标系及其结构
二、空间中点的坐标与两点间的距离计算
1. 空间中的点的坐标表示
a. 点M（x，y，z）关于z=0平面的对称点为M'(x,y,-z)。
b. 点M关于x轴的对称点为M”（x，-y，-z）。
c. 点M关于原点的对称点M”‘的坐标为(-x,-y,-z)。
2. 空间中两点之间的距离计算
从点M到原点的距离为：d=|OM|=√(x^2+y^2+z^2)。
对于空间中的任意两点P1（x1，y1，z1）和P2（x2，y2，z2），它们之间的距离为：d=|P1P2|=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2]。
示例1：证明三角形△ABC是等腰三角形，其中A（4，3，1），B（7，1，2），C（5，2，3）。
通过计算，我们发现|BC|=|CA|=6，所以△ABC是等腰三角形。
示例2：在x轴上寻找与点A（-2，1，1）和点B（0，1，2）等距离的点。
设该点P（x，0，0），由于|PA|=|PB|的条件，解得x=-1/4。所以所求的点为M（-1/4，0，0）。
三、向量的概念及其特性
1. 向量：具有大小和方向的量，也称为矢量。例如：力、速度、加速度、位移等。
2. 标量：只有大小，没有方向的量。如：温度、质量、长度、密度、时间等。
如果两个向量a和b的大小和方向都相同，则它们相等。向量的模记作|AB|。模长为1的向量称为单位向量。模长为0的向量称为零向量，方向任意。与非零向量a同向的单位向量记作ea=a/|a|。当两个向量的方向相同或相反时，称这两个向量平行。记作a//b。
四、向量的线性运算详解
1. 向量的加减法：包括力的合成、平行四边形法则和三角形法则等。当n个向量首尾相接时，连接第一个向量的起点和最后一个向量的终点的向量即为这些向量的和。向量差的定义为a-b=a+(-b)。向量加法满足交换律和结合律。
2. 数乘向量：满足数乘运算法则的向量。向量的加减运算和数乘运算统称为向量的线性运算。
例如：在平行四边形ABCD中，设AB=a，AC=b。使用a和b表示MA、MB、MC、MD的向量。其中MA=-1/2(a+b)，MC=1/2(b-a)，MD=1/2(b+a)，MB=1/2(a-b)。定理9-1指出，两个非零向量平行的充要条件是存在唯一实数λ，使得b=λa。
五、向量坐标表达式及其应用
设x轴、y轴、z轴正向的单位向量分别为i、j、k。OM的向量坐标表达式为OP+PN+NM=xi+yj+zk=(x,y,z)。总结向量的坐标表达方式及其在实际中的应用。
六、向量的模、方向角及投影
1. 向量的模与单位向量 ：设向量r=（x,y,z），其模为|r|=（OP^2+OQ^2+OR^2）^1/2=(x^2+y^2+z^2)^1/2 。单位向量ea的方向与向量a一致，其模长为1。
2. 方向角与方向余弦 ：非零向量r与坐标轴正向的夹角α、β、γ称为r的方向角。r的方向余弦即为其方向角对应的余弦值。若向量r的方向余弦是与其同方向的单位向量er=（cosα，cosβ，cosγ）。因此我们可以通过计算方向余弦来得知向量的方向特性。
