面对这道题目，首先映入眼帘的是顶角和底边，还有一个重要的隐含条件——三角形外接圆的直径。借助正弦定理，我们可以迅速计算出外接圆的半径为R。
接下来的解题思路多种多样，可以求高或者求两腰。求高的方法相对简单，而求两腰则需要运用正弦定理。一旦求得两腰，就可以使用多种三角形面积公式中的任何一个来计算面积。例如公式S=bcsin就能派上用场。
现在我们先计算三角形外接圆的直径2R。应用正弦定理的公式进行计算，过程如下：
解法一：从直径入手，通过求出半径，结合图形信息快速解题。已知直径是8√2，那么半径就是4√2。图中的点O是三角形外接圆的圆心，所以OA=OB=OC=4√2。通过识别出BC是圆中的弦，我们可以知道圆周角是圆心角的一半。由于角A等于45，所以∠BOC等于90。进一步分析可知三角形OBC是等腰直角三角形，因此三角形ABC的高h=4+4√2。答案便一目了然。
解法二：如果没能直接看出高的求解方式，我们可以选择稍微复杂一些的路径。比如使用相交弦定理来求高。已知直径为d，高为h，根据相交弦定理可以得到h(d-h)=16的关系式。已知d=8√2后，解一元二次方程即可求得高。接着就可以计算三角形的面积了。
解法三：另一种思路是通过求两腰来解题。运用正弦定理可以简化计算过程。首先需要计算sin67.5，这需要我们回顾半角公式和相关的数学知识。通过计算我们得到sin67.5的解析解后，可以求出三角形的两腰。之后就可以利用三角形面积公式求解了。在这里可以选择的三角形面积公式有很多，例如当=45时使用的特定公式等。
解法四：还有一种巧妙的解法是通过作辅助线来解题。从点B向AC作垂线，构造出一个等腰直角三角形。通过勾股定理计算出直角边a的值后，就可以知道底边和高，然后利用三角形面积公式求出答案了。另外还可以尝试从点A向底边BC作垂线来解题，选择求高或者求腰的任何一种方法都可以找到解题路径。读者可以尝试自己动手解题，体验不同的解题方法带来的乐趣。科学的普及需要时间和努力，感谢大家的阅读和支持！
