一、利用导数判断函数单调性，确定整数解范围
应用场景：
当需要求解方程或不等式的整数解时，我们可以通过构造函数并利用导数来判断其单调性，从而确定整数解的可能范围。
示例：
给定函数f(x)=x^3 – 3x^2 + 2x，求方程f(x)=0的整数解。
解题步骤：
求导数：f'(x) = 3x^2 – 6x + 2。
接着，通过求解f'(x)=0找出函数的极值点。
然后，依据这些极值点判断函数在不同区间的单调性。
结合函数的整数取值情况，确定方程f(x)=0的整数解。
二、应用导数求最值解决整数规划问题
应用场景：
当需要在给定条件下求某个与整数相关的表达式的最大值或最小值时，可以通过构造函数并利用导数求最值来解决整数规划问题。
示例：
已知x, y均为正整数，且x + y = 10，求xy的最大值。
解题步骤：
构造函数f(x) = x(10-x) = -x^2 + 10x。
求导得到f'(x) = -2x + 10。
通过求解f'(x)=0找出函数的极值点。
由于x为整数，结合x+y=10的条件，判断当x=y=5时，xy取得最大值。
三、利用导数证明不等式解决整数比较问题
应用场景：
当需要比较两个整数表达式的大小关系时，可以通过构造函数并利用导数来证明相关不等式。
示例：
证明对于任意正整数n，当n≥5时，有n^2
解题步骤：
构造函数g(n) = 2n – n^2。
求导得到g'(n) = 2n ln 2 – 2n（近似求解或采用其他方法）。
通过证明不等式g'(n)>0（当n≥5），可以推出g(n)>0，即证明原不等式成立。
四、利用导数研究函数的零点解决整数方程问题
