在电影《美丽心灵》中，有一个非常浪漫的场景：纳什和艾丽西亚站在喷泉边，一起仰望星空。艾丽西亚分享了一个秘密，她说自己曾经数过星星，数到了惊人的4348颗。纳什笑着回应，他们真是一对奇特的组合。接着，他让艾丽西亚随机选择一个形状，无论是动物还是其他任何东西。艾丽西亚思考片刻后，选择了雨伞。然后，纳什悄悄走到艾丽西亚背后，握住她的手，在星空中连出了一把雨伞的形状。艾丽西亚的心瞬间被俘获，她请求再来一次，希望纳什能画出一只章鱼。
不论电影中的这个情节是否真实，也不论纳什是否真的具备这样的能力，如果他真的能做到，那么他为什么能自信地用星星连出任意的形状呢？答案可能隐藏在组合数学中的一个核心理论——拉姆齐理论（Ramsey Theory）中。
拉姆齐理论的核心思想可以概括为：完全的无序是不可能的。更具体地说，该理论探讨的是，为了保证某个集合（或系统）现某种性质（或结构），这个集合需要包含多少元素？从最初的拉姆齐定理到后来的许多拉姆齐型定理都表明，当集合的元素数量达到某个临界值时，预先定义好的某种性质或结构一定会出现。纳什之所以自信能画出任意的形状，是因为星空中的星星数量非常巨大，从而保证了一定能连出想要的形状。
我们还可以借助鸽笼原理来理解拉姆齐理论。传统的鸽笼原理是：当n+1只鸽子被放入n个鸽笼时，至少有一个鸽笼里会有两只鸽子。如果我们用Ramsey理论的思想来重新解读这个原理，问题就变成了：为了至少让一只鸽子与另一只鸽子同笼，我们至少需要多少个鸽笼？答案仍然是n+1。
同样地，我们可以将鸽笼原理以及其他相关的数学概念进行再解读和再表达。例如，如果将鸽子的颜色看作是一种映射关系，那么为了保证至少有一对鸽子拥有相同的颜色，我们至少需要多少个鸽子？答案依然是n+1。这种思维转变和临界状态的探索其实也在鸽笼原理中得到了体现。当集合足够大时，我们总能从中找到满足我们需求的确定性或秩序。这种转变必然存在一个临界状态和对应的临界值。在鸽笼原理中，当鸽子的数量达到临界状态时，总会有鸽子被分配到同一个鸽笼中。这就是为什么即使传统的鸽笼原理看似复杂甚至带有余数除法性质的原因。此外通过代数和几何的例子我们看到Van der Waerden定理和Erdos-Szekeres猜想这些复杂定理的本质是在不确定中寻找确定的秩序只要系统足够大这个秩序就一定能找到最后回到鸽笼原理如果根据鸽笼原理我们知道在人群中至少有两个人生日是同一天所以确定性所对应的临界值是生日的天数如果从概率的角度更精细地看待这个过程我们发现概率方法在组合数学中有着广泛的应用并且许多关于Ramsey理论的结论都可以用概率方法来证明这也是概率方法作为组合数学前沿领域应用广泛的原因之一编辑推荐近期热门文章包括关于地下探险、数学天才解决困扰数学家难题的故事、原制造指南等等欢迎查阅这些文章以了解更多有趣的知识和信息。”
