文章重写后如下：
开篇语：本文将向大家介绍频谱分析的数值方法中的一种重要技巧——离散傅里叶变换（DFT）。
我们面临一个问题：在傅里叶级数和傅里叶变换的计算过程中，常常涉及到无穷多项的求和，这给数值计算带来了很大的不便。那么，有没有一种方法能够避免这种无穷多项求和的环节呢？答案是肯定的！那就是离散傅里叶变换（DFT）。
接下来，让我们来详细了解一下DFT。在此之前，我们需要先了解一些预备知识，即如何构造周期函数来求频谱特性。
在傅里叶变换中，一个非周期信号是由幅值为无穷小的谐波所组成的。通过观察这些信号的频谱特性，我们可以发现一种奇妙的关系：非周期信号的频谱特性可以通过一种曲线来求得。这就是我们接下来要介绍的求傅里叶变换的一种方法。
以一个非周期信号为例，该信号仅在特定时间区间内有非零值。我们可以通过傅里叶变换的表达式来求解其频谱特性。对于周期函数，我们也可以求出其傅里叶系数。通过这两个系数，我们可以得到一个基本的关系式，这个关系式在频谱分析中的数值方法是非常重要的。
现在我们来正式介绍离散傅里叶变换（DFT）。在进行傅里叶变换的数值计算时，我们通常会遇到计算困难的问题。为了解决这个问题，我们采用了数值计算方法，其中包括DFT和快速傅里叶变换（FFT）。
DFT的计算原理是基于信号周期延拓的方法。我们将信号进行周期延拓，然后分析周期信号的谐波成分。通过这种方式，我们可以得到离散傅里叶变换的详细推导过程。
接下来，我们通过一张图来帮助大家完全理解离散傅里叶变换。根据信号求出其频谱特性，然后进行周期延拓，得到周期信号。通过对展开成傅里叶系数，我们可以得到各次谐波的系数。利用这些系数，我们可以写出周期函数的频谱特性。
我们还可以通过时域采样的方法来考虑问题的另一方面。根据采样系统理论，对时间函数进行采样，即脉冲调制，然后分析其傅里叶级数。通过这种方式，我们可以得到另一种关系式。
接下来，我们想办法将无穷项求和转化为有限项求和。通过一些数学推导，我们得到了离散傅里叶变换（DFT）和离散傅里叶反变换（IDFT）的表达式。
我们通过一个简单的例子来演示如何应用DFT。我们求一个余弦函数的频谱，通过离散傅里叶变换得到其频谱图，并与实际频谱进行比较。
在接下来的推送中，我们将为大家详细推导快速傅里叶变换（FFT）的原理和应用。
参考文献：
[1]王广雄. 控制系统设计 [M].北京：清华大学出版社，2008年。